Het zijn barre tijden met al die prijsverhogingen voor iedereens eerste levensbehoeften. Ben nog altijd blij dat we vroeger hebben leren koken. Daar hebben we niet alleen gemak van, maar ook financieel voordeel. Zelf alles samenstellen uitgaande van basisingrediënten is nu eenmaal veel goedkoper dan complete maaltijden kopen. Dat gaat zelfs al op bij pure passata ten opzichte van al gekruide tomatensaus.

Zeker als je op reclames let. Wat op dit moment zelfs een beetje extreem is met die 2e gratis en 1+1 gratis acties. Wel kopen natuurlijk, want je hebt er eerder in het jaar vast al voor betaald met je boodschappen, of anders straks wel, in de kerstperiode. Want welke winkel gaat nu uit zichzelf verlies draaien?

Met eigen ingrediënten, zoals pasta, kan je variëren. Dat roep de vraag op: waarom bestaan er eigenlijk zo veel pastagerechten? Dat is aan te tonen, zelfs al met de beperking van de ingrediënten van deze maaltijd. Eerst door stug doorrekenen, dan door iets slimmers te doen: wiskunde toepassen.

We maken graag tomatensausen met basilicumblaadjes erin. Soms fijngesneden basilicumblaadjes, soms takjes basilicum die we op het eind weer verwijderen, en soms een combinatie van beiden. Basilicum in tomatensaus is heerlijk en levert alleen al 3 mogelijkheden voor in een maaltijd, even meetellen! Groene pesto, oorspronkelijk uit Genova, gemaakt van basilicumblaadjes en pijnboompitten, vinden we ook heerlijk, maar op de een of andere manier, en gek genoeg vinden we dat zelf ook, niet als die gemengd is door de pasta. Een andere pesto, die van alla trapanese uit Sicilië, die dan juist weer wel. Heeft alles te maken met smaak en mondgevoel.

Voor tomatensausen grijpen we altijd graag terug op passata en/of tomatenconcentraat. Soms met, of alleen, verse tomaten. Even meetellen: alweer 7 combinaties voor de tomaten. Er is wel een lichte kentering gaande betreffende tomaten uit blik in ons huishouden en wel sinds het merk Mutti in Nederland in de schappen is verschenen met blikken pomodoro San Marzano en pomodorini datterini. Je moet je eigen keuzes van liever-geen-tomaten-uit-blik altijd blijven toetsen als er nieuwe merken verschijnen op de schappen! Tomaten, alleen in deze alinea nog meer combinatiemogelijkheden met wel of niet de inhoud van die blikjes erbij.

Als je dan die verschillende kaasjes bekijkt die mogelijk zijn, naast feta en Parmezaanse kaas, dan zie je meteen dat alleen al in deze maaltijd ontzettend veel te combineren valt en weg te laten is, zelfs al met die simpele basis van pasta, tomaat, basilicum en kaasjes. Veel combinaties en toch iedere keer anders  van smaak en textuur.

Maar over hoeveel combinaties hebben we het nu eigenlijk, met de genoemde basilicum, tomaten en 2 kaasjes keuzes? Weinig of veel?

Even stug doortellen: in totaal voor alleen al de tomatenkeuzes – passata, concentraat, vers en 2 bliksoorten – zijn er 31 combinatiemogelijkheden. Een redenatie gaat als volgt. Eerst berekenen hoeveel combinaties er zijn als we 4 van de 5 ingrediënten kiezen, dan hoeveel er zijn als we er 3 van de 5 ingrediënten kiezen, et cetera. Maar je begint natuurlijk met alles erin te doen. Dat levert meteen de 1e combinatie. Dan laat je 1 ingrediënt weg; er moeten er 4 inzitten. Met 5 ingrediënten kan je er 5 keer 4 nemen en 1 weglaten. 5 combinaties dus. De teller staat hiermee al op 6.

Nu 3 van de 5 ingrediënten kiezen, er moeten er 2 weg. Iets lastiger. Eerst het probleem verkleinen, standaard truc in de wiskunde. We nemen eerst aan dat passata er altijd in zit. Dan hebben we 4 ingrediënten over waar we er altijd 2 van weglaten. Dat levert 6 mogelijkheden op. Nu nog de mogelijkheden als passata er nooit inzit. Weer kunnen we dan het probleem verkleinen met de aanname dat tomatenconcentraat er altijd in zet. Er zijn dan maar 3 mogelijkheden met 3 overgebleven ingrediënten. En zonder concentraat blijft er, met de passata er niet in, dan nog 1 mogelijkheid over. Nu hebben we alles gehad waar passata en concentraat er wel of niet inzitten. En meer mogelijkheden zijn er niet met de eis dat er 3 in moeten zitten. Op naar de volgende stap: 2 van de 5 moeten er inzitten. Dat levert in totaal 10 mogelijkheden op. Als laatste, er zit er 1 in, dat levert 5 mogelijkheden. Even optellen levert 1+5+6+3+1+10+1=31 combinaties, best veel eigenlijk met maar 5 ingrediënten.

Dat was alleen de variatie in tomaten. Nu uitbreiden met basilicum: verschillende manieren om basilicum te verwerken én verschillende manieren om tomatensaus te maken. Dat levert ook nog eens veel combinatiemogelijkheden op, met allemaal net een andere smaak en textuur als resultaat. Hoeveel combinaties? Simpel tellen of redeneren duurt van af dit punt gewoonweg veel te lang, en de kans dat je een combinatie vergeet mee te tellen is veel te groot.

Entreé het wiskundige vakgebied combinatoriek, ook wel de kunst van het tellen genoemd, tellen op een slimme manier. Het aantal combinatie mogelijkheden van de tomaten is via combinatorische formules direct duidelijk, zonder moeizaam tellen. Via zogeheten binomiaalcoëfficiënten komt het antwoord 32. Maar in wiskunde telt ook mee dat geen van de ingrediënten erin kan zitten, en dat levert 1 (lege) combinatie. Dat is echter voor koken wat saaier, of te wel er zijn 32-1=31 combinaties, zoals boven met stug doorredeneren al bepaald. Je moet wiskunde waarderen en goed toepassen.

Een interessante observatie is dat 32=2*2*2*2*2=2⁵, met 5 niet toevallig het aantal opties om tomaten te gebruiken. Dat komt erop neer dat elk ingrediënt 2 opties heeft: het zit er wel of niet in. Die 2 tot de macht 5 laat ook zien dat voor speciale gevallen de combinatorische formule eenvoudiger wordt. Iets dat regelmatig gebeurt in de wiskunde. En ook vaak anders en sneller te bewijzen is, hier bijvoorbeeld zonder binomiaalcoëfficiënten. Dat bij een verzameling van n elementen er 2ⁿ mogelijke combinaties zijn laat zich eenvoudig bewijzen door inductie. Maar de omweg leidt bijna altijd tot nieuwe inzichten. En dat is het leukste!

Hoeveel combinaties bijvoorbeeld van tomaat (5 opties) én basilicum (3 opties) zijn er dan? Veel! Met de hand tellen is alleen maar veel werk en verloren tijd. Via wiskunde gaat het veel sneller, en kunnen we geen combinatie vergeten. Het antwoord is 2⁸=256, waarbij de 8 komt van 5+3. Met feta en/of Parmezaanse kaas erbij wordt het dan 2¹⁰=1024. Dat tel je in deze tijden en ook vroeger niet zelf. Wiskunde! Tweede conclusie: we zijn voorlopig nog niet klaar met Reutel.nl.

Nog niet opeten (voor 4 personen)

• 300 gram pipe rigati traditionali pasta
• 400 gram tuinerwten, uit de diepvries
• 2 verse pomodori tomaten
• 3 volle eetlepels tomatenconcentraat (doppio)
• 200 gram passata
• 2 takjes basilicum
• 1 eetlepel gedroogde oregano
• 1 afgestreken theelepel uienpoeder
• 100 milliliter droge witte wijn
• 60 gram Griekse 48+ feta
• vers geraspte Parmezaanse kaas

Aan het werk (35 minuten)

Was de tomaten, snij de kern eruit en snij de tomaten dan in kleine stukjes.

Rul het gehakt gaar in een brede koekenpan met hoge wanden, in 8 minuten.

Kook de pasta gaar volgens voorschrift.

Snij intussen de blaadjes van 1 basilicumtakje heel fijn.

Voeg de tomaten, tomatenconcentraat, passata, oregano, uienpoeder, witte wijn, en de stukjes basilicum toen. Alles goed door elkaar roeren. Leg er dan 1 takje basilicum in en dompel die onder.

Verhit de pan en onder af en toe roeren de saus in 10 minuten laten indikken.

Voeg de tuinerwten toe, roer alles goed door elkaar en verhit de pan nog eens voor 8 minuten, onder af en toe roeren.

Even zoeken en het basilicumtakje, wat er van over is, eruit halen.

Verdeel de pasta over de borden.

In het midden wat Parmezaanse kaas erover strooien.

Aan de randen wat verbrokkelde feta erop leggen.

Direct serveren.

Resultaat

Bijna alle grotere stukjes hebben zich keurig verzameld in de gaten van de pipe rigate.

Het zuurtje van de feta maakt het helemaal af.

Slechts 1 van 1023 (=1024-1) mogelijkheden hier geprobeerd, en die was al lekker! Probeer andere combinaties, zoals geen tomatensaus maar wel kaassaus met stukjes verse tomaat. En dan hebben we de kruiden en specerijen opties nog niet eens meegerekend in de combinatie mogelijkheden. En ook niet andere soorten pasta. En daarom bestaan er zoveel kookprogramma’s.

Over het aantal atomen in het zichtbare universum

Er zijn meer combinaties van ingrediënten mogelijk dan er atomen zijn in het zichtbare universum. Wat daarbuiten bestaat of niet, dat weten we niet.

Want het aantal atomen in het zichtbare universum is een getal dat wordt geschat op 10⁸⁰, een 1 met 80 nullen, net als 100 een 1 is met 2 nullen, en daarmee 10². Er zijn ook andere schattingen van het aantal atomen, doordat je wat aannames moet doen, bijvoorbeeld hoeveel sterren er in het heelal zijn.

Nu geldt dat 10<2⁴=16. En daarmee is 10⁸⁰< (2⁴)⁸⁰ = 2^4*80 = 2³²⁰. Slechts 320 ingrediënten volstaan zeker om meer combinaties te maken dan er atomen in het heelal zijn. En er zijn veel meer dan 320 ingrediënten in de wereld; er zijn nog veel meer combinaties en recepten mogelijk. Alleen al van kaasjes wordt geschat dat er meer dan 1800 verschillende soorten zijn. Game on! 320 is overigens nog steeds wat te veel, omdat we van 2⁴ uitgingen. Het kan scherper. Als  2^x=10, dan is x = 1/log(2) = 3,32192809489. Dan geldt 10⁸⁰= (2^{3,32192809489})⁸⁰ = 2^{3,32192809489*80} = 2^{265,754247591}. Afgerond volstaan daarmee slechts 266 verschillende ingrediënten om meer combinaties te maken dan er atomen in het zichtbare heelal zijn.

Nog zo’n groot getal is het aantal verschillende volgorden waarop je een set van 52 speelkaarten kan schudden. Voor de eerste kaart heb je 52 mogelijkheden, voor de volgende kaart dan nog 51, enzovoort. Dat levert 52*51*…*2*1 = 52! ≈ 8,0658*10⁶⁷ mogelijkheden. Dat is wel veel minder dan 10⁸⁰, maar nog steeds een heel groot getal. Dat wordt vaak op de volgende manier geïllustreerd. De leeftijd van het heelal wordt geschat op 13,8 miljard jaar. In een jaar zitten 31556926 seconden. In seconden is de leeftijd van het heelal dan, afgerond, 4,352*10¹⁷. Zouden we elke seconde dat het heelal bestaat de speelkaarten hebben geschud, die ook nog elke keer een andere volgorde heeft opgeleverd, dan nog hebben we maar een heel klein deel van de 52! mogelijkheden gehad. 52!, uitgerekend, levert een nogal groot getal!

Als je al niet wist waarom er zoveel kookboeken mogelijk zijn, dan weet je het nu. Geen wonder ook dat er zoveel pasta kookboeken bestaan! Je hoeft ze alleen niet te kopen. Of beter, ik koop al tijden geen moderne kookboeken meer. Ze bleven te vaak alleen als vulling in de boekenkast staan, want de recepten die erin staan veranderen niet meer. Eigen fantasie, interessante (gratis) foodblogs en kijken wat er op de schappen van winkels staat, zouden voldoende inspiratie moeten leveren. Hooguit de bereidingswijze is dan de eerste keer even wat uitzoekwerk. Entreé Google.