Wat hebben koekjes en regelmatige veelhoeken met elkaar te maken?

Bij een regelmatige veelhoek zijn alle hoeken even groot en hebben alle zijden dezelfde lengte. Bij een vierkant zijn die hoeken elk 90°. Bij een zeshoek is elke hoek precies 120°. Zoveel regelmaat dat je zou kunnen denken dat het niet in de natuur voorkomt. Maar zowel op kleine schaal als op grote schaal komen (regelmatige) veelhoeken voor. Zeshoeken in het bijzonder. Bij kristallen en basalt, bij een bijenraat, op de pool van Saturnus is een zeshoek te zien en er bestond op de zuidpool van Jupiter een zeshoek gevormd door 6 stormen. En ook bij koekjes bakken komen ze voor! Wat is er nu zo speciaal aan regelmatige zeshoeken?

Die regelmatige zeshoek, of hexagoon, trok via de bijenraat al de aandacht van de oude Romeinen. Varro Reatinus (116 – 27 BC) was een Romeinse geleerde en schrijver. Hij dacht dat bijen hun cellen in een regelmatig zeshoek bouwen omdat deze de compactste vorm opleverd. Hij kon het niet bewijzen. Wiskundigen noemen een dergelijk statement dan een conjecture, een hypothese. De bijenraat conjecture luidt: een regelmatig zeshoekig rooster of honingraat is de beste manier om een oppervlak te verdelen in gelijke gebieden met de minste totale omtrek. Die minste totale omtrek is belangrijk ook voor bijen, want dan hoeven ze de minste hoeveelheid wand te maken. Ruim 350 jaar later dacht de Griek Pappos van Alexandrië (c. 290 – c. 350) erover na en schreef zijn bevindingen ook op. De conjecture werd pas in 1999 bewezen door Thomas C. Hales [1]. De conjecture werd voor altijd een stelling. Andere wetenschappen werken anders, maar bij wiskunde blijft een eenmaal bewezen stelling voor altijd waar.

Nu kunnen bijen tellen, met slechts vier zenuwcellen zelfs [2], maar wiskundigen zijn het niet. Hoe komen bijen dan uit op die optimale zeshoek? Dat is eigenlijk vrij eenvoudig te demonstreren, want fysica speelt ook een rol.

De volgende keer dat je koekjes bakt die uitlopen in de oven, gewoon proberen. Leg 7 even grote rondjes koekjesdeeg een beetje platgedrukt op een bakplaat. 1 rondje in het midden, de rest op een afstandje eromheen. Geen enkel koekje is de baas, dus ze geven elkaar precies evenveel ruimte. Waar 2 koekjes elkaar raken kan niets anders dan een rechte grens ontstaan. Waar 3 koekjes elkaar raken ontstaat een hoekpunt. De hoeken worden als laatste gevormd tijdens het bakproces.

De rechte grenzen tussen 2 koekjes komen bij 3 koekjes in 1 punt samen. Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Omdat de koekjes alle drie even hard duwen, betekent dat die 360° eerlijk moet worden gedeeld door 3 koekjes. De koekjes maken in de punt waar ze elkaar raken dus een hoek van 360:3=120°. De hoek van een regelmatige zeshoek! En die zeshoek, die zie je in het midden terug na het bakken. De andere koekjes aan de buitenkant zijn geen zeshoeken, want daar zijn geen andere deegrondjes neergelegd: die randen worden rond door het uitlopen zonder tegendruk. Had ik er wel deegrondjes neergelegd dan was de bakplaat gevuld met regelmatige zeshoeken, net als bij bijenraten, en het achtergrond plaatje van dit blog!

De zeshoek bij koekjes is niet helemaal perfect regelmatig, al scheelt het niet veel. Bij het in de oven gaan kan per deegrondje de afstand tot het middelste deegrondje iets verschillen en de samenstelling van het deeg zal niet perfect uniform te zijn. Hierdoor kunnen uitloopsnelheden (minimaal) verschillend zijn en het moment waarop de buitenste koekjes het middelste koekje raken net niet gelijkertijd optreden.

Dan blijft alleen nog over de beslissing hoe de koekjes moeten smaken dit keer.

Piment. Wij hebben er al lang geleden een 2e pepermolen voor in huis gehaald. Ander model en andere kleur dan de molen waar peper inzit zodat we het verschil a priori weten en altijd de goede molen pakken. Piment malen wij daarom altijd vers in de gerechten. Bijna altijd hartige gerechten, door de scherpte van piment. In Nederland zie ik het niet gauw gebeuren, piment in koekjes. In Engeland is het veel gewoner. Daar gebruiken ze sowieso veel allspice (piment dus). De smaak van piment doet denken aan kaneel, kruidnagel, nootmuskaat en peper, maar dan anders. Dat stoppen we hier als aparte ingrediënten in koekkruidmengsels. De Engelsen zijn in 1 keer klaar, piment.

Daarom, pimentkoekjes, losjes gebaseerd op het recept van gemberkoekjes: pimentkoekjes met kaneel en ahornsiroop.

Nog niet opeten (24 koekjes)

• 200 gram bloem
• 150 gram koude ongezouten roomboter in blokjes
• 1 volle theelepel vers gemalen piment
• 1 afgestreken theelepel kaneelpoeder
• 100 gram witte basterdsuiker
• 60 gram maple syrup (ahornsiroop)
  
• ½ theelepel baking soda of 1 theelepel bakpoeder

Met deze hoeveelheid ingrediënten moet ik weer twee keer bakken: 12 koekjes per keer.

Aan het werk (15 minuten + 2 x 18 minuten in de oven)

Zeef de bloem in een kom en meng er de gemalen piment, kaneelpoeder, zout en baking soda doorheen. Voeg de boter toe en kneed met de vingertoppen tot het op broodkruimels lijkt. Voeg de basterdsuiker toe en giet er de maple syrup overheen. Kneed het mengsel goed door elkaar tot het een egale kleur heeft. Het deeg blijft zacht. Als het te vochtig blijft, dan nog een beetje bloem toevoegen.

Maak een afgeplatte bol van het deeg en leg het ingepakt in huishoudfolie een half uur in de koelkast.

Verwarm de oven voor op 175°C. Leg bakpapier op een bakplaat.

Net uit de koelkast is het deeg stevig. Je kan het uitrollen en met een ronde steker de koekjesvormen maken. Het kan ook anders. Haal er met je vingers een klein stukje deeg af (ongeveer 20 gram), rol het in je handen tot een bolletje en druk het daarna plat. Niet te grote stukjes deeg nemen want het deeg vloeit nog uit in de oven.

Leg 12 platte stukjes deeg een paar centimeter uit elkaar op het bakpapier.

Bakken in de oven voor 18 minuten. Meteen uit de oven zijn de koekjes nog zacht, maar al binnen een paar minuten worden ze hard en kan je ze van de bakplaat afhalen zodat ze kunnen afkoelen.

De bakplaat met bakpapier herbruiken voor de tweede set van 12 koekjes.

Resultaat

Mooi gekleurde knapperige koekjes met veel smaak. De piment komt lekker naar voren.

Nog een regelmatige zeshoek

Je kunt de vorming van de regelmatige zeshoek ook demonstreren met eierdooiers, 7 exemplaren om precies te zijn. Gedaan voor ze een zeer rijke custard ingingen. Geen foto genomen, geen idee meer waarom niet.

Leg de dooiers op een licht gekromd bord. De zwaartekracht zorgt voor de druk. Als vanzelf vormt de rand van de middelste dooier zich tot een zeshoek. Alleen in de hoeken van de zeshoek raken ze elkaar net niet. Dat komt door het vliesje dat een eidooier bijeen houdt.

Referenties

1. Thomas C. Hales, The Honeycomb Conjecture. In: Discrete & Computational Geometry, volume 25, pages 1–22, 2001.
2. Dorine Schenk, Bijen kunnen tellen met slechts vier zenuwcellen, 27 december 2018.