Bijna vierkant koekje met een geometrisch patroon
Kan jij ook koekjes maken met blokjes, in 2 kleuren? Bam. Ze waren net binnen, die kleine mensen, en hadden meteen al een eetwens. Even doorgevraagd na zo’n expliciet verzoek en ze noemden ‘Heel Holland Bakt’, daar hadden ze het gezien. Nu kijken wij dat programma niet, evenmin als het Britse origineel, maar YouTube bracht redding. Zit je meteen na je ontbijt al achter een laptop te zoeken op het internet. Met ongeduldige en energierijke jonge mensen om je heen.
Toen ze bij een Google search enthousiast meldden ‘ja, die’, dacht ik meteen ‘vierkante koekjes met een geometrisch patroon’. ’t is maar waar je in bent opgeleid of waar je interesses liggen. De rest van de wereld noemt ze mozaïek-koekjes, dambord-koekjes en soms ook wel schaakbord-koekjes.
In het YouTube-filmpje legde ‘Meester Patissier’ en ‘Meester Boulanger’ Van Beckhoven uit hoe je ze moet maken. Simpel eigenlijk. In plaats van 2 deeglagen met verschillende kleuren op elkaar te leggen en dan te rollen, om swirl koekjes te maken, snij je ze eerst in lange rechthoekige repen en legt ze dan om-en-om naast en op elkaar. Die swirl koekjes eerder gemaakt met verschillende kleuren suiker. Hier meegelift op de golf aan recepten die cacao gebruiken. Die van het Droste effect!
En nu we het toch over geometrische patronen hebben! Daar waren de oud Grieken al mee bezig. Wiskunde werkt met uitgangspunten, die we axioma’s noemen. Interessant is dan wat je met een set van axioma’s allemaal kunt afleiden, c.q. bewijzen. Kan je iets niet bewijzen, dan is de volgende vraag ‘wat moet ik toevoegen aan de axioma’s om het wel te kunnen bewijzen’. En die toegevoegde axioma’s moeten natuurlijk wel zinnig zijn.
De oud Grieken namen bijvoorbeeld een passer (voor cirkels) en een liniaal (voor lijnen) als uitgangspunt. Kan je een hoek met een passer en liniaal precies in 2 gelijke hoeken opdelen? Het antwoord is ja. Kan je iedere hoek met een passer en liniaal precies in 3 gelijke hoeken opdelen? Het antwoord is nee. De oud Grieken liepen tegen grenzen aan. Net als bij een vierkant met zijden van lengte 1. De lengte van de diagonaal is √2, en dat is geen geheel getal en ook geen breuk. Men werd er heftig door in verwarring gebracht. √2 is het allereerste irrationele getal dat door de mensheid is ontdekt.
Een cirkel kan je met een passer tekenen. De hoekpunten van een vierkant kan je ook met een passer bepalen om vervolgens met een liniaal de zijden te tekenen. De oud Grieken waren nieuwsgierig en vroegen zich af of het omgekeerde ook kan. Gegeven een cirkel, kan dan met behulp van alleen een passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant worden geconstrueerd met exact hetzelfde oppervlakte als de gegeven cirkel. Niet losjes uit de pols, maar wiskundig exact. Het zogeheten ‘kwadratuur van de cirkel’ probleem.
Pas in 1882 bewees de Duitse wiskundige Carl Louis Ferdinand von Lindemann dat dit niet kon, door gebruik te maken van een eigenschap van het getal π, ook een irrationeel getal. √2 en π, beiden interessante getallen. We zijn ze eerder tegengekomen bij de Argentijnse dubbele pizza.
Wij zijn inmiddels iets verder in onze wiskunde dan de oud Grieken. We weten nu, met de goede axioma’s als uitgangspunt, dat een cirkel en een vierkant topologisch hetzelfde zijn. Dat maakt topologie meteen een zeer abstract wiskundig onderwerp.
Terug naar koekjes maken met blokjes in 2 verschillende kleuren. Er zijn uiteraard verschillende recepten en je kunt de koekjes ook zo groot of klein maken als je zelf wilt. Met 9, 12 of 16 gekleurde blokjes bijvoorbeeld. Je kunt ze ook nog omwikkelen in een extra laag deeg. Wij vonden de 9 blokjes variant pleasing to the eye, met een omhullende van de restanten aan deeg.